Toán 12 – Chương 7 - Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng - Học hay


Đăng bởi Huyền Trang | 26/04/2021 | 477
Toán 12 – Chương 7 - Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng - Học hay

Video bài học Toán 12 – Chương 7 - Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng

Tích có hướng của hai véc tơ

- Định nghĩa: Cho các véc tơ $\vec{u_1} = (x_1;y_1;z_1)$ và $\vec{u_2} = (x_2;y_2;z_2)$. Tích có hướng của hai véc tơ  $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ là véc tơ $\vec{u_1}$, ký hiệu $\vec{u}= [\vec{u_1}, \vec{u_2}]$  hoặc $\vec{u}= \vec{u_1} ˄ \vec{u_2}$ và được xác định bằng tọa độ như sau:

 

$[\vec{u_1}, \vec{u_2}]$  = \[\left(\begin{align*} \begin {vmatrix} y_1  &  z_1 \\ y_2  &  z_2 \end {vmatrix}; \begin {vmatrix} z_1  &  x_1 \\ z_2  &  x_2 \end {vmatrix}; \begin {vmatrix} x_1  &  y_1 \\ x_2  &  y_2 \end {vmatrix}\end{align*}\right)\]  = $(y_1z_2 − y_2z_1; z_1x_2 − z_2x_1; x_1y_2 − x_2y_1)$

 

Véc tơ $\vec{u}$ vuông góc với cả hai véc tơ $\vec{u_1}$ và $\vec{u_2}$

- Tính chất:

$[\vec{u_1} ; \vec{u_2}] = − [\vec{u_1} ; \vec{u_2}]$

$[\vec{u_1} ; \vec{u_2}] = \vec{0} ⇔ \vec{u_1} $cùng phương  $\vec{u_2}$

$[\vec{u_1} ; \vec{u_2}]⊥ \vec{u_1}; [\vec{u_1} ; \vec{u_2}]⊥ \vec{u_2}$

$[\vec{u_1} ; \vec{u_2}]. \vec{u_3} = 0 ⇔$  ba véc tơ $\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3}$  đồng phẳng.

$|[\vec{u_1} ; \vec{u_2}]|= |\vec{u_1}| . |\vec{u_2}| sin (\vec{u_1} ; \vec{u_2})$

Ứng dụng tích có hướng

- Diện tích tam giác:

$S_(ABC) = \frac{1}{2} |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$

- Diện tích hình bình hành:

$S_(ABCD) = |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}]| = |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]|$

- Thể tích tứ diện:

$V_(ABCD) = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}] . \overrightarrow{AD}|$

- Thể tích khối hộp:

$V_(ABCD.A′B′C′D′) = |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}] . \overrightarrow{AA’}|$

 

Chú ý: Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:

+B1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột.

$$\begin{align*} \begin {matrix} x_1  &  y_1 & z_1 & x_1 & y_1 & z_1\\ x_2  &  y_2 & z_2 & x_2 & y_2 & z_2 \end {matrix} \end{align*}$$

 

+ B2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng.

+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.

Ví dụ: Cho hai véc tơ $\vec{u}$ = (1;5;3) và $\vec{v}$ = (2;−1;0). Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.

Giải:

Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)

Vậy $[\vec{u}, \vec{v}] = (3;6;−11)$

Bài tập

1. Cho hai véc tơ $\vec{u}=(0;2;0)$ và $\vec{v}=(3;0;0)$ . Tích có hướng của $\vec{u}$  và $\vec{v}$ có tọa độ:

a. (1;0;0)

b. (0;0;6)

c. (−6;0;0)

d. (0;0;−6)

2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (B)  cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng Δ. Gọi $\vec{n_(α)}$ và $\vec{n_(β)}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của (α) và (β) tuơng ứng. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của Δ?

a. $(\vec{n_(α)} ∧ \vec{n_(β)}) ∧ (\vec{n_(β)} ∧ \vec{n_(α)})$

b. $\vec{n_(β)} ∧ (\vec{n_(α)} ∧ \vec{n_(β)}$

c. $(\vec{n_(α)} ∧ \vec{n_(β)} ∧ \vec{n_(α)}$

d. $\vec{n_(α)} ∧\vec{n_(β)}$

3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2), B(2;−1;3). Số điểm M thuộc trục Oy sao cho tam giác MAB có diện tích bằng $\frac{\sqrt{6}}{4}$ là:

a. 1

b. Vô số

c. 0

d. 2

4. Cho tứ diện ABCD, biết A(1;2;0),B(0;1;−1),C(0;0;1) và G(2;−1;0) là trọng tâm tứ diện. Thể tích khối tứ diện đã cho là:

a. 66   

b. 18

c. 4

d. 36

5. Cho hai véc tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$  có độ dài lần lượt là 1 và 2. Biết tích có hướng của chúng là véc tơ $\vec{w}$ có độ dài bằng 2. Góc tạo bởi $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ có độ lớn là:

a. $45^o$

b. $90^o$       

c. $120^o$

d. $30^o$

 

Đáp án: 1d, 2d, 3a, 4a, 5b

 

#toanhoclop12 #toan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #toan12hinhhoc #giaitoan12 #hochay #hoctoan12 #lop12

Toán 12 – Chương 7 - Bài 3: Tích có hướng và ứng dụng - Học hay


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019