Toán 12 – Chương 7 - Bài 5: Phương trình mặt phẳng - Học hay


Đăng bởi Huyền Trang | 22/12/2020 | 337
Toán 12 – Chương 7 - Bài 5: Phương trình mặt phẳng - Học hay

Video bài học Toán 12 – Chương 7 - Bài 5: Phương trình mặt phẳng

Véc tơ pháp tuyến và cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng

- Véc tơ $\vec{n}$ (≠$\vec{0}$) là một véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P) nếu giá của nó vuông góc với (P).

- Hai véc tơ không cùng phương $\vec{a}, \vec{b}$ được gọi là cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) của (P) nếu giá của chúng nằm trong (P) hoặc song song với (P).

- Nếu $\vec{n}$ là một VTPT của (P) thì k.$\vec{n}$ (k ≠ 0) cũng là VTPT của (P), do đó một mặt phẳng có vô số VTPT.

- Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ là cặp VTCP của (P) thì [$\vec{a}, \vec{b}$] là một VTPT của (P).

Phương trình mặt phẳng

- Mặt phẳng (P) đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và nhận $\vec{n}$ = (a;b;c) làm VTPT thì (P) có phương trình:

$a(x−x_0) + b(y−y_0) + c(z−z_0) = 0$

- Nếu $a^2 + b^2 + c^2 > 0$ (a,b ,c không đồng thời bằng 0) thì phương trình ax + by + cz + d = 0 là phương trình của một mặt phẳng có VTPT là $\vec{n}$ = (a;b;c).

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0; (Q): a′x+b′y+c′z+d′=0 có các VTPT lần lượt là $\vec{n}$ = (a;b;c), $\vec{n′}$= (a′;b′;c′). Khi đó hai mặt phẳng:

- cắt nhau nếu $\vec{n} ≠ k.\vec{n′}$

- song song nếu $\vec{n} = k.\vec{n′}$ và d ≠ k.d′

- trùng nhau nếu $\vec{n} = k.\vec{n′}$ và d = k.d′

- vuông góc nếu $\vec{n}.\vec{n′}$= 0.

Nếu a′b′c′d′ ≠ 0 thì:

  • $\frac{a}{a'} ≠ \frac{b}{b'}$ hoặc $\frac{b}{b'} ≠ \frac{c}{c'}$ hoặc $\frac{a}{a'} ≠ \frac{c}{c'}$ thì (P), (Q) cắt nhau.
  • $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}= \frac{c}{c'} ≠ \frac{d}{d'}$ thì (P)//(Q)
  • $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'}= \frac{c}{c'} = \frac{d}{d'}$ thì (P) ≡ (Q)
  • a.a′ + b.b′ + c.c′ = 0 thì (P)⊥(Q).

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ đến (P):ax+by+cz+d=0 là:

$d (M;(P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

- Đặc biệt, nếu điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ ∈(P) thì d (M;(P)) = 0

Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P): ax+by+cz+d=0; (Q):a′x+b′y+c′z+d′=0

Góc giữa hai mặt phẳng (P),(Q) là góc có:

$cos((P),(Q)) = ∣cos(\vec{n_1}, \vec{n_2})| = \frac{\vec{n_1}. \vec{n_2}}{|n_1|.|n_2|} = \frac{|a.a'+b.b'+c.c' |}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}. \sqrt{a′^2 + b′^2 + c′^2}}$

Góc giữa hai mặt phẳng là α thì 0 ≤ α ≤ $90^o$⇒ 0 ≤ cosα ≤ 1.

Bài tập

1. Cho $\vec{a}=(5;1;3),\vec{b}=(−1;−3;−5)$ là cặp VTCP của mặt phẳng (P). Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của (P)?

a. (1;2;0)

b. (2;11;−7)

c. (4;−22;−14)

d. (2;2;−4)

2. Cho hai mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0; (Q):a′x+b′y+c′z+d′=0. Nếu có $\frac{a}{a′}=\frac{b}{b′}=\frac{c}{c′}$ thì:

a. hai mặt phẳng song song

b. hai mặt phẳng trùng nhau

c. hai mặt phẳng vuông góc      

d. A hoặc B đúng.

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x−y+z−5=0. Tính khoảng cách d từ M(1;2;1) đến mặt phẳng (P) được :

a. $d=\frac{\sqrt{15}}{3}$

b. $d=\frac{\sqrt{12}}{3}$

c. $d=5\sqrt{3}$

d. $d=4\sqrt{3}$

4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2y−2z+3=0, mặt phẳng (Q):x−3y+5z−2=0. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là

a. $\frac{\sqrt{35}}{7}$

b. $-\frac{\sqrt{35}}{7}$

c. $\frac{5}{7}$            

d. $-\frac{5}{7}$

5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz,Oxyz, cho hai mặt phẳng (P):x−2y−z+2=0, (Q):2x−y+z+1=0. Góc giữa (P) và (Q) là

a. $60^o$

b. $90^o$

c. $30^o$

d. $120^o$

 

Đáp án: 1b, 2d, 3c, 4a, 5a


#toanhoclop12 #toan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #toan12hinhhoc #giaitoan12 #hochay #hoctoan12 #lop12

Toán 12 – Chương 7 - Bài 5: Phương trình mặt phẳng - Học hay


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019