Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 13: Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 29/12/2020 | 454
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 13: Phương pháp giải các bài toán tiếp tuyến với đồ thị và sự tiếp xúc của hai đường cong - Học hay

Video bài học

Tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm.

 

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$, viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(x_0;f(x_0))∈(C)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′=f′(x)⇒f′(x0)$.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến $y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)$

 

- Bước 3: Kết luận.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$, viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $M(x_M;y_M)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′=f′(x)$.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 của $(C): y=f′(x_0)(x−x_0)+f(x_0).$

- Bước 3: Thay tọa độ $(x_M;y_M)$ vào phương trình trên, giải phương trình tìm $x_0$.

 

- Bước 4: Thay mỗi giá trị $x_0$ tìm được vào phương trình tiếp tuyến ta được phương trình cần tìm.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho biết hệ số góc.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết nó có hệ số góc k.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′=f′(x).$

- Bước 2: Giải phương trình $f′(x)=k$  tìm nghiệm $x_1,x_2,...$

 

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm $(x_1;f(x_1)),(x_2;f(x_2)),...$

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết nó có hệ số góc nhỏ nhất, lớn nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′=f′(x).$

- Bước 2: Tìm GTNN (hoặc GTLN) của $f′(x)$  suy ra hệ số góc của tiếp tuyến và hoành độ tiếp điểm (là giá trị mà $f′(x)$ đạt GTNN, GTLN).

- Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm vừa tìm được.

LƯU Ý:

a) Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị $(C)$ có phương song song hoặc trùng với trục hoành.

b) Cho hàm số bậc ba $y=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0).$

+) Khi $a>0$ thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất.

 

+) Khi $a<0$ thì tiếp tuyến tại tâm đối xứng của $(C)$ có hệ số góc lớn nhất.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết mối quan hệ của nó với đường thẳng cho trước.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′=f′(x).$

- Bước 2: Nêu điều kiện về mối quan hệ giữa tiếp tuyến có hệ số góc $k=f′(x)$ với đường thẳng d có hệ số góc $k′$.

+ Tiếp tuyến vuông góc $d⇔k.k′=−1.$

+ Tiếp tuyến song song với $d⇔k=k′.$

+ Góc tạo bởi tiếp tuyến của $(C)$ với d bằng $α⇔tanα=∣\frac{k−k′}{1+kk′}∣$

- Bước 3: Giải phương trình ở trên tìm nghiệm $x_1,x_2,... $ và tọa độ các tiếp điểm.

 

- Bước 4: Viết phương trình các tiếp tuyến tại các tiếp điểm vừa tìm được.

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện nào đó

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Tìm mm để tiếp tuyến với $(C)$ đi qua điểm $M(x_M;y_M)$ cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ x0 thuộc $(C): y=f′(x_0)(x−x_0)+f(x_0)$

- Bước 2: Nêu điều kiện để tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện đề bài:

Tiếp tuyến đi qua điểm $M(x_M;y_M)⇔pty_M=f′(x_0)(x_M−x_0)+f(x_0)$ có nghiệm.

- Bước 3:Tìm điều kiện của $m$ dựa vào điều kiện ở trên và kết luận.

Sự tiếp xúc của các đồ thị hàm số

Cho $(C): y=f(x)$ và $(C′):y=g(x).$

Xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f′(x),g′(x).$

- Bước 2: Giải hệ phương trình {f′(x)=g′(x)/f(x)=g(x).

- Bước 3: Kết luận:

+ Nếu hệ có nghiệm thì $(C)$ và $(C′)$ tiếp xúc.

 

+ Nếu hệ vô nghiệm thì $(C)$ và $(C′)$ không tiếp xúc.

Tìm điều kiện của tham số để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f′(x),g′(x).$

- Bước 2: Nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc:

$(C)$ và $(C′)$ tiếp xúc nếu và chỉ nếu hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{} f′(x)=g′(x) \\ f(x)=g(x) \end{array} \right.$ có nghiệm.

- Bước 3: Tìm $m$ từ điều kiện trên và kết luận.

 

 

Bài tập vận dụng

Câu 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}−1$ tại điểm có hoành độ $x=−1$ là:

A. 0

B. 2

C. −2

D. 3

Đáp án C

Ta có $y′=x^3+x$

⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=−1$ là $k=y′(−1)=−2$ 

Đáp án cần chọn là: C

 

Câu 2: Cho hàm số $y=x^3−3x^2−2$. Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x=2$ là:

A. 6

B. 0

C. -6

D. -2

Đáp án B

Ta có $y′=3x^2−6x⇒y′(2)=3.2^2−6.2=0$  nên hệ số góc cần tìm là $k=0$.

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=−2x^3+4x+2$ tại điểm có hoành độ bằng 0..

A. $y=4x$. 

B. $y=4x+2$. 

C. $y=2x$.

D. $y=2x+2$.

Đáp án B

Bước 1:  Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số là $A(0;2)$.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng $y=y′(0)(x−0)+2$.

Ta có $y′=−6x^2+4y(0)=4$. Do đó phương trình tiếp tuyến là $y=4x+2$.

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 4: Cho hàm số $y=x^3+x^2−5x+1$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 2$.

A. $y=11x−19$.              

B. $y=−10x+8$.               

C. $y=11x+10$.             

D. $y=10x+9$.

Đáp án A

Ta có: $y′=3x^2+2x−5⇒y′(2)=11;y(2)=3$.

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 2$.  là: $y=11(x−2)+3=11x−19$.

Đáp án cần chọn là: A

 

Câu 5: Cho hàm số $y=x^3−3x2+5x−2$ có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

A. $y=2x−2$.

B. $y=2x−1$.

C. $y=−2x$.       

D. $y=−2x+1$.

Đáp án B

Xét hàm số: $y=x^3−3x^2+5x−2$ trên $R$ 

Có $y′=3x^2−6x+5=3(x−1)^2+2⩾2$. 

Dấu “=” xảy ra $x=1$.

Với $x=1⇒y=1$.

Vậy đường thẳng cần tìm là: $y−1=2(x−1)⇔y=2x−1$.

 

Đáp án cần chọn là: B

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toan12daiso #onthitoan12 #ontaptoan12 #luyentaptoan12 #kienthuctoan12 #lythuyettoan 12

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019