Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 17/12/2020 | 264
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 4: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Học hay

Video bài học

Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên miền $D$.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $D$ nếu $\left\{ \begin{array}{} f(x)≤M,∀x∈D \\ ∃x_0∈D,f(x_0)=M \end{array} \right.$

Kí hiệu $M=max_{x\in D} ⁡f(x)$ hoặc $M = max_D⁡ f(x)$

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên $D$ nếu $\left\{ \begin{array}{} f(x)≥m,∀x∈D \\ ∃x0∈D,f(x0)=m \end{array} \right.$

Kí hiệu $m =min_{x∈D}⁡ f(x)$ hoặc $m = min_D⁡ f(x)$

Cần chú ý phân biệt GTLN, GTNN với cực đại, cực tiểu của hàm số, dưới đây là hình vẽ minh họa GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$ để các em phân biệt.

Hình đồ thị số 3

Một số dạng toán thường gặp

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $[a;b]$

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y'=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,...x_n$ thỏa mãn $a≤x_1<x_2<...<x_n≤b$

- Bước 2: Tính các giá trị $f(a),f(x_1),...,f(x_n),f(b)$

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:

+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $[a;b]$

+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $[a;b]$

Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác đinh và liên tục trên $(a;b)$

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f'(x)$, giải phương trình $y'=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,…x_n$ thỏa mãn $a≤x_1<x_2<...<x_n≤b$

- Bước 2: Tính các giá trị $f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)$ và $A= lim_{(x→a^+ )}⁡f(x)$ ; $B = lim_{(x→b^-)}⁡f(x)$

- Bước 3: So sánh các giá trị tính được và kết luận.

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là A hoặc B thì kết luận hàm số không có GTLN (hoặc GTNN) trên khoảng $(a;b)$

+ Nếu GTLN (hoặc GTNN) trong số các giá trị ở trên là $f(x_i),i∈{1;2;...;n}$ thì kết luận hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN) bằng $f(x_i)$ khi $x=x_i$

Tìm điều kiện của tham số để hàm số có GTLN, GTNN thỏa mãn điều kiện cho trước

Cho hàm số $f(x)$ xác đinh và liên tục trên đoạn $[a;b]$

Phương pháp: (chỉ áp dụng cho một số bài toán dễ dàng tìm được nghiệm của $y'$)

- Bước 1: Tính $y′$, giải phương trình $y'=0$ tìm các nghiệm $x_1,x_2,...x_n$

- Bước 2: Tính các giá trị $f(a),f(x_1),...,f(x_n),f(b)$

- Bước 3: Biện luận theo tham số để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn $[a;b]$

- Bước 4: Thay vào điều kiện bài cho để tìm $m$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=sinx$ trên đoạn  $[-\frac{π}{2}; -\frac{−π}{3}]$ lần lượt là

A. $-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}, -1$

C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}, -2$

D. $-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}$

Đáp án B

Ta có

$y′ = cosx ⇒ y′ = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x=  \frac{π}{2}+ kπ (k∈Z)$

Do $x ∈ [-\frac{π}{2};-\frac{π}{3}]$ nên $k = −1$ hay $x = − \frac{π}{2}$

Suy ra: $y (-\frac{π}{2}) = −1; y(-\frac{π}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$⇒\left\{ \begin{array}{} \max\limits_{-\frac{π}{2} \to -\frac{π}{3}} y=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \min\limits_{-\frac{π}{2} \to -\frac{π}{3}} y=-1 \end{array} \right.$

 

Câu 2. Cho biết GTLN của hàm số $f(x)$ trên $[1;3]$ là $M=−2$. Chọn khẳng định đúng:

A. $f(x)⩾−2, ∀x ∈ [1;3] $

B. $f(1) = f(3) = −2$

C.$ f(x) < −2, ∀x ∈ [1;3]$                    

D. $f(x) ⩽ −2, ∀x ∈[1;3]$

Đáp án D

Nếu $M= −2$ là GTLN của hàm số $y = f(x)$ trên $[1;3]$ thì $f(x) ⩽ −2 ,∀x ∈ [1;3]$

 

 

Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $[0;2]$ và có GTNN trên đoạn đó bằng 5. Chọn kết luận đúng:

A. $f (0 )< 5$

B. $f(2) ⩾ 5 $

C. $f (1) = 5$   

D.$ f(0) = 5$

Đáp án B

GTNN của $f(x)$ trên$[0;2]$ bằng 5 nên $f(x) ⩾ 5, ∀x ∈ [0;2] ⇒ f (2) ⩾ 5$.

 

 

Câu 4. Giá trị  nhỏ nhất của hàm số $y=2x+cosx$ trên đoạn $[0;1]$ là :

A. −1

B. 1

C. $π$

D. 0

Đáp án B

Ta có $y′ = 2−sinx > 0 ∀x ∈ R ⇒$ Hàm số luôn đồng biến trên $[0;1]$

$⇒ min [0;1 ]y = y (0) = 1$

 

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất mm của hàm số $y = x^3−3x^2$ trên đoạn  $[−1;1]$.

A. m = −4.

B. m = 0.

C. m = −2.

D. m = −5.

Đáp án A

Để tìm GTNN,  của hàm số f trên đoạn $[a;b]$, ta làm như sau:

- Tìm các điểm $x_1;x_2;...;x_n$ thuộc khoảng $(a;b)$ mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính $f(x_1);f(x_2);...;f(x_n);f(a);f(b)$

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của f trên $[a;b]$; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của $f$ trên $[a;b]$.

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toanlop12daiso #toan12bai4 #hamso #daoham #giaitoan12 #toan12giatrilonnhatgiatrinhornhatcuahamso

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019