Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 6: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 21/12/2020 | 426
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 6: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số và luyện tập - Học hay

Video bài học

Các kiến thức cần nhớ

- Tiệm cận đứng

Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: 

\[ \left[ \begin{array}{} \lim\limits_{x \to x_0^+} y= +\infty \\ \lim\limits_{x \to x_0^+} y= -\infty\\\lim\limits_{x \to x_0^-} y= +\infty\\\lim\limits_{x \to x_0^-} y= -\infty \end{array} \right. \]

- Tiệm cận ngang:

Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\[ \left[ \begin{array}{} \lim\limits_{x \to+\infty } y=y_0\\\lim\limits_{x \to-\infty } y=y_0 \end{array} \right. \]

- Tiệm cận xiên:

Đường thẳng $y=ax+b(a≠0)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f(x)$  nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\[ \left[ \begin{array}{} \lim\limits_{x \to+\infty } [f(x)-(ax+b)]=0\\\lim\limits_{x \to-\infty } [f(x)-(ax+b)]=0 \end{array} \right. \], trong đó:

$\left\{ \begin{array}{} a= \lim\limits_{x \to+\infty } \frac{f(x)}{x}\\ b=\lim\limits_{x \to+\infty }[f(x)-ax] \end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{} a= \lim\limits_{x \to-\infty } \frac{f(x)}{x}\\ b=\lim\limits_{x \to-\infty }[f(x)-ax] \end{array} \right.$

 

LƯU Ý: Chỉ có khái niệm “Tiệm cận của đồ thị hàm số”, KHÔNG có “Tiệm cận của hàm số”.

Một số dạng toán thường gặp

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Phương pháp:

- Bước 1: Tính cả hai giới hạn  $\lim\limits_{x \to+\infty }y$ và $\lim\limits_{x \to-\infty }y$

- Bước 2: Kết luận:

Đường thẳng $y =y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \[ \left[ \begin{array}{} \lim\limits_{x \to+\infty } y=y_0\\\lim\limits_{x \to-\infty } y=y_0 \end{array} \right. \]

 

LƯU Ý: Hàm phân thức có tiệm cận ngang khi và chỉ khi khi bậc của đa thức tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của đa thức mẫu

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

- Bước 1: Tìm các điểm mà tại đó hàm số không xác định.

- Bước 2: Tính cả 2 giới hạn $\lim\limits_{x \to x_0^+}y$ và $\lim\limits_{x \to x_0^-}y$

- Bước 3: Kết luận:

Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp \[ \left[ \begin{array}{} \lim\limits_{x \to x_0^+} y= +\infty \\ \lim\limits_{x \to x_0^+} y= -\infty\\\lim\limits_{x \to x_0^-} y= +\infty\\\lim\limits_{x \to x_0^-} y= -\infty \end{array} \right. \]

 thì $x=x_0$ là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

LƯU Ý:

+ Ta chỉ cần 1 trong điều kiện trên thoả mãn là kết luận được

 

+ Riêng đối với hàm phân thức thì $x_0$ thường là nghiệm của mẫu thức nhưng không là nghiệm của tử thức

Tìm tiệm cận xiên của đồ thi hàm số

- Bước 1: Tính cả hai giới hạn  $a= \lim\limits_{x \to+\infty } \frac{f(x)}{x}$ và $a'= \lim\limits_{x \to-\infty } \frac{f(x)}{x}$

- Bước 2: Nếu \[ \left[ \begin{array}{} a\ne\pm\infty\\a'\ne\pm\infty\ \end{array} \right. \] thì tính \[ \left[ \begin{array}{} b=\lim\limits_{x \to+\infty } [f(x)-ax]\\b'=\lim\limits_{x \to-\infty } [f(x)-a'x] \end{array} \right. \]

- Bước 3: Kết luận: Nếu các giới hạn trên là hữu hạn thì $y=ax+b$ và $y=a′x+b′ $ là các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

LƯU Ý:

Đồ thị hàm phân thức có tiệm cận xiên khi  và chỉ khi bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức mẫu là 1

Khi đó, để tìm tiệm cận xiên ta chỉ cần chia tử cho mẫu được đa thức thương ax+b ⇒ y=ax+b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số phân thức có tiệm cận đứng

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện để mẫu thức có nghiệm (nếu cần) và tính các nghiệm $x_1,x_2,...,x_n$ của mẫu thức.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm phân thức có tiệm cận đứng:

Hàm số có một (hai, ba,…) tiệm cận đứng nếu mẫu thức có một (hai, ba,…) nghiệm không là nghiệm của tử thức.

- Bước 3: Thay các nghiệm  $x_1,x_2,...,x_n$  lên tử thức và biện luận dựa trên yêu cầu đề bài về số tiệm cận đứng.

LƯU Ý:

 

Nếu bài chỉ yêu cầu có tiệm cận đứng thì ta chỉ cần một nghiệm của mẫ không phải nghiệm của tử là đủ

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y=2x^2−3x+mx−m . Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giá trị của tham số mm là:

A. m=0       

B. m=0;m=1

C. m=1         

D. Không tồn tại m

Đáp án B

Cách 1: Thử đáp án

Với $m=0 $ ta có $x=0$ là nghiệm của đa thức $2x^2−3x$ trên tử

$⇒y=2x−3(x≠0)$ không có tiệm cận đứng.

Với $m=1$ ta có $x=1$ là nghiệm của đa thức $2x^2−3x + 1$ trên tử

$⇒y=2x−1(x≠1)$ không có tiệm cận đứng.

Cách 2: Chia đa thức

 

Để hàm số không có tiệm cận đứng thì tử số phải chia hết cho mẫu số

$⇔2m^2−2m=0⇔m=0$ hoặc $m=1$

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 2:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x−1}{2−x}$ là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án C

 Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là

- Tiệm cận đứng $x=2$

- Tiệm cận ngang $y=−1$

Đáp án cần chọn là: C

 

Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{3x}{1+2x}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=32$. 

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y=3$.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=1$. 

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Đáp án A
$\lim\limits_{x \to \pm\infty}y=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{3x}{1+2x}=\frac{3}{2}$

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x}{1+2x}$ là đường thẳng $y=\frac{3}{2}$

 

Câu 4:Cho hàm số $y=\frac{ax^2+3ax+2a+1}{x+2}$ Chọn kết luận đúng:

A. Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận xiên.

B. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định $a≠0$.

C. Đồ thị hàm số luôn có 3 đường tiệm cận với $∀a$.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu $a≠0$.

Đáp án B

+ Nếu $a=0$ thì $y=\frac{1}{x+2}$, đồ thị hàm số này có tiệm cận đứng $x=−2 $ và tiệm cận ngang $y=0 $ nên A, C sai.

+ Nếu $a≠0 $ thì $y=\frac{ax+a+1}{x+2}$ nên $y=ax+a $ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Khi đó $y=ax+a⇔a(x+1)−y=0 $ luôn đi qua điểm $(−1;0) $ với mọi $a≠0$.

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 5: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{x−2}{\sqrt{x^2−4}} $ là:

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Đáp án C

 - Tìm ĐKXĐ của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=f(x)$:

+ Đường thẳng  

$\lim\limits_{x \to +\infty}y=y_0,\lim\limits_{x \to -\infty}y=y_0$

+ Đường thẳng x=x_0 được gọi là TCN của đồ thị hàm số 

$\lim\limits_{x \to x_0^+}y=+\infty,\lim\limits_{x \to x_0^+}y=-\infty, \lim\limits_{x \to x_0^-}y=+\infty,\lim\limits_{x \to x_0^-}y=-\infty $

 

 #toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12  #toanlop12daiso  #hamso #daoham #giaitoan12 

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019