Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 9: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 23/12/2020 | 195
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 9: Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn trùng phương - Học hay

Video bài học

Kiến thức cần nhớ

Tìm hàm số có đồ thị cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Nhận dạng đồ thị: Đồ thị thuộc dạng bậc 3 hay bậc 4, hệ số a dương hay âm.

- Bước 2: Tìm điểm giao của đồ thị hàm số với $Oy$ và thay tọa độ vào các hàm số ở từng đáp án.

- Bước 3: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho.

- Bước 4: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình $y′=0$, tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

- Bước 5: Giải phương trình $y=0$  ở các đáp án và tìm nghiệm, đối chiếu với hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành.

Ví dụ 1:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y=−x^3+x+2$                    B. $y=x^3−3x^2+2$

C. $y=x^4−x^2+1$               D. $y=x^3−3x+2$

Cách giải:

Nhận xét:  Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số $a > 0$

Loại đáp án A, C

Xét 2 đáp án B và D

Thay $x=0;y=2$  thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn

Thay $x=2;y=−2$ chỉ có đáp án B thỏa mãn

Chọn B

 

LƯU Ý: HS chỉ cần thực hiện từng bước rồi loại bớt đáp án, đến khi chọn được đáp án đúng thì dừng lại, không nhất thiết phải thực hiện hết cả 5 bước nếu đã tìm ra đáp án trước đó để tránh mất thời gian.

Tìm hàm số có bảng biến thiên cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc 4, hệ số 

- Bước 2: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên.

 

- Bước 3: Tính đạo hàm các hàm số ở mỗi đáp án và giải phương trình $y′=0$, tìm điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số ở các đáp án.

Ví dụ 2:

Cho hàm số 

Bảng biến thiên trên là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. $y=x^3+2x^2−5$

B. $y=x^4+2x^2−3$

C. $y=−x^3+3x^2−1$

D. $y=−x^3−3x^2−1$

Cách giải:

Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3 Þ Loại đáp án B

Ngoài cùng bên phải của $y′<0⇒a<0 Þ $ Loại đáp án A

Thay lần lượt hai điểm $(0;−1) $ và $(2;3)$ vào 2 hàm số còn lại

Thay $x=0$ vào cả hai  hàm số $y=−x^3+3x^2−1$ và $y=−x^3−3x^2−1$ ta thu được $y=−1$

$⇒(0;−1)$ đều thuộc vào 2 đồ thị hàm số $y=−x^3+3x^2−1$ và $y=−x^3−3x^2−1$

Thay $x=2$ vào  hàm số $y=−x^3+3x^2−1$ ta được $y = 3$

$⇒(2;3)$  thuộc vào đồ thị hàm số $y=−x^3+3x^2−1$

 Thay $x=2$ vào  hàm số $y=−x^3−3x^2−1$ ta được $y=−21$

$⇒(2;3)$  không thuộc vào đồ thị hàm số $y=−x^3−3x^2−1$

 

Chọn C

Nhận xét các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số có bảng biến thiên cho trước (về tính đơn điệu, cực trị, tâm đối xứng, trục đối xứng,…)

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát bảng biến thiên, tìm các khoảng đơn điệu, các điểm cực trị của hàm số.

- Bước 2: Nhận dạng bảng biến thiên: Bảng biến thiên đã cho là của hàm bậc 3 hay bậc 4, từ đó tìm được tâm đối xứng, trục đối xứng,...

- Bước 3: Đối chiếu các kết quả thu được ở trên với các đáp án bài cho và xét tính đúng sai của các đáp án.

Ví dụ 3:

Cho hàm số 

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2

B. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $x=−1$

C. Cực tiểu của hàm số là $y=−2$

D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;−2)$

Cách giải:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

- Hàm số không có GTLN nên A sai.

- Điểm cực đại của đồ thị hàm số là $(1;−2)$  nên D sai, $x=−1$ là điểm cực đại của hàm số nên B sai.

- Giá trị cực tiểu của hàm số là $y=−2$ nên C đúng.

Chọn C

 

LƯU Ý: HS cũng có thể xét tính đúng sai của từng đáp án ngay mà không cần nhận xét tất cả các tính chất của hàm số, đồ thị hàm số đã nêu ở trên để tránh mất nhiều thời gian.

Tìm điều kiện của các hệ số của hàm đa thức bậc ba có đồ thị cho trước

Cho hàm số 

 

Phương pháp:

- Bước 1: Xét tính dương, âm của hệ số  dựa và dáng đồ thị.

- Bước 2: Tìm điều kiện của  dựa và giao điểm của đồ thị hàm số với trục 

+ Nếu giao điểm nằm trên trục hoành thì 

+ Nếu giao điểm nằm dưới trục hoành thì 

+ Nếu giao điểm trùng với gốc tọa độ 

- Bước 3: Tìm điều kiện của  dựa vào các điểm cực trị của đồ thị hàm số:

+ Nếu đồ thị hàm số không có cực trị thì phương trình 

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị thì phương trình 

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị nằm trái phía với trục tung thì phương trình 

+ Nếu đồ thị hàm số có hai cực trị cùng nằm bên trái trục tung thì phương trình 

 

Ví dụ 4:

Cho hàm số

A. $a,d>0$                     B. $a>0,c>0>b$

C. $a,b,c,d>0$                D. $a,d>0,c<0$

Cách giải

$\lim\limits_{x \to−∞}=−∞$ nên $a>0$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $y′=3ax^2+2bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

$⇒ac<0$ mà $a>0$ nên suy ra $c<0$ suy ra loại B, C.

Mặt khác thấy đồ thị cắt trục oy tại điểm có tung độ dương $⇒d>0$

 

Chọn D

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số có điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′;y″$, giải phương trình 

- Bước 2: Giả sử 

- Bước 3: Thay tọa độ điểm uốn vào điều kiện đề bài để tìm 

Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho $f(x)=(x−1)^3−3x+3$. Đồ thị hình bên là của hàm số có công thức:

A. $y=−f(x+1)−1$

B. $y=−f(x+1)+1$

C. $y=−f(x−1)−1$

D. $y=−f(x−1)+1$

Đáp án B

Đáp án A: $y=−f(x+1)−1=−x^3−3(x+1)+3−1=−x^3−3x−1$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;−1)⇒ $ Loại.

Đáp án B: $y=−f(x+1)+1=−x^3−3(x+1)+3+1=−x^3+3x+1$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;1)$⇒ Đáp án B có thể đúng.

Đáp án C: $y=−(x−2)^3−3(x−1)−1=−x^3+6x^2−15x+10=0$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;10)$ ⇒ Loại.

Đáp án D: $y=−(x−2)3−3(x−1)+1=−x3+6x^2−15x+12=0$. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;12)$⇒ Loại.

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 2: Hàm số nào có thể có dạng như hình vẽ?

A. Hàm số đa thức bậc ba

B. Hàm số đa thức bậc hai.

C. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.

D. Cả B và C đều đúng

Đáp án C

Dạng đồ thị đã cho có thể là hàm bậc bốn trùng phương.

Đáp án cần chọn là: C

 

Câu 3: Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Hỏi $(C)$ là đồ thị của hàm số nào?

 

A. $y=x^3+1$.

B. $y=(x−1)^3$.

C. $y=(x+1)^3$.

D. $y=x^3−1$.

Đáp án B

Từ đồ thị ta quan sát thấy $y(0)=−1,y(1)=0 $ do đó loại A và C.

Hàm số bậc ba nhận nghiệm của phương trình $y’’=0$ làm tâm đối xứng. Đồ thị đối xứng qua điểm $A (1; 0)$  nên phương trình $y’’=0$  có nghiệm $x = 1$.

Đáp án D ta có: $y′=3x^2⇒y″=6x=0⇔x=0≠1⇒$  D sai

Do đó chỉ có hàm số $y=(x−1)^3$  thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 4: Hàm số nào có thể có đồ thị dạng như hình vẽ?

A. Hàm số đa thức bậc ba.

B. Hàm số đa thức bậc hai.

C. Hàm số đa thức bậc bốn trùng phương.

D. Cả B và C đều đúng

Đáp án D

 

Câu 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số nào sau đây?

A. $y=−x^4+2x^2$.

B. $y=x^4−2x^2$.

C. $y=−x^2+2x$.

D. $y=x^3+2x^2−x−1$.

Đáp án A

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị nên hàm số cần tìm là hàm số bậc 4⇒ loại đáp án C và D.

Đồ thị hàm số hướng xuống dưới nên hệ số $a<0$⇒ loại đáp án B.

 

Đáp án cần chọn là: A

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12  #toanlop12daiso  #hamso #daoham #giaitoan12 

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019