Toán lớp 12 - Chương 2 - Bài 4: Hàm số luỹ thừa - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 10/01/2021 | 226
Toán lớp 12 - Chương 2 - Bài 4: Hàm số luỹ thừa - Học hay

Video bài học

Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa:

- Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng $y=x^α(α∈R).$

- Tập xác định:

+ $α$ nguyên dương: $D=R$.

+ $α$ nguyên âm hoặc $α=0: D=R∖{0}.$

+ $α$ không nguyên: $D=(0;+∞)$.

Chú ý:

$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}⇔x>0$. Ngoài ra hai hàm số $y=\sqrt[n]{x}$ và $y=x^{\frac{1}{n}}(n∈N∗)$ là không đồng nhất vì có tập xác định khác nhau.

Đạo hàm:

$(x^α)^′=αx^{α−1};u^α(x)^′=αu^′(x)u^{α−1}(x)$

$(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}};(\sqrt[n]{u(x)})'=\frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}(x)}}$

+Nếu $x>0$ thì $\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ nên $(\sqrt[n]{x})'=(x^{\frac{1}{n}})'=\frac{1}{n}x^{-\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$

 + Nếu $x≤0$ thì đẳng thức trên không xảy ra.

 

Khảo sát hàm số $y=x^α(α≠0)$ trên tập $(0;+∞)$.

- Đồ thị:

 

Luôn đi qua điểm $(1;1)$

- Trên đây ta chỉ xét chung các hàm số trên tập $(0;+∞)$. Thực tế tập xác định của mỗi hàm số là khác nhau phụ thuộc vào điều kiện của $α$.

 

- Tránh nhầm lẫn tập $(0;+∞)$ là tập xác định cho mọi hàm số lũy thừa.

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Xác định số mũ $α$ của hàm số.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số xác định.

+ αα nguyên dương: $D=R$.

+ αα nguyên âm hoặc $α=0: D=R∖{0}$

+ αα không nguyên: $D=(0;+∞).$

- Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên để tìm tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

$(u±v)′=u′±v′;(uv)′=u′v+uv′;(\frac{u}{v})′=\frac{u′v−uv′}{v^2}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 3: Tìm mỗi quan hệ của các số mũ của các hàm số lũy thừa khi biết đồ thị của chúng.

Phương pháp:

Quan sát đồ thị hàm số và nhận xét tính đồng biến, nghịch biến và các điểm đi qua để suy ra tính chất của các số mũ.

Bài tập vận dụng

Câu 1: Hàm số nào dưới đây KHÔNG là hàm số lũy thừa?

A. $y=\frac{1}{x^4}$

B. $y=x^{-\sqrt{2}}$

C. $y=e^x$

D. $y=x^π$

Đáp án C

Các hàm số ở mỗi đáp án A, B, D đều là hàm số lũy thừa.

Đáp án cần chọn là: C

 

Câu 2: Hàm số nào có tập xác định là $D=R$?

A. $y=x^5$

B. $y=x^{-1}$

C. $y=x^{\sqrt2}$

D. $y=(x^{\sqrt{2}})^2$

Đáp án A

Hàm số $y=x^5$ xác định trên $R$.

Hàm số $y=x^{-1}$ xác định nếu $x≠0$.

Hàm số $y=x^{\sqrt2}$ xác định nếu $x>0$.

Hàm số $y=(x^{\sqrt{2}})^2$ xác định nếu $x>0$.

Đáp án cần chọn là: A

 

Câu 3: Công thức tính đạo hàm của hàm số $y=x^α$ là:

A. $y'=αx^{α-1}$

B. $y'=(α-1)x^{α-1}$     

C. $y'=αx^α$     

D. $y'=αx^α-1$

Đáp án A

Ta có: $(xα)'=αx^{α-1}$

Đáp án cần chọn là: A

 

Câu 4: Đồ thị hàm số $y=x^α$ là đường thẳng khi:

A. $α>0$

B. $α=1$

C. $α=−1$                      

D. $α=0$ hoặc $α=1$

Đáp án D

Khi $α=0$ thì $y=1$ nên đồ thị hàm số là đường thẳng.

Khi $α=1$ thì $y=x$ nên đồ thị hàm số là đường thẳng.

Đáp án cần chọn là: D

 

Câu 5: Chọn kết luận đúng:

A. Hàm số $y=x^α $ có TXĐ $D=R$ với mọi $α∈R$.

B. Hàm số $y=x^α$ có TXĐ $D=R$ với mọi $α∈Z$.

C. Hàm số $y=x^α$ có TXĐ $TXĐ D=R∖{0}$ với mọi $α∈Z$.

D. Hàm số $y=x^α$ có TXĐ $D=(0;+∞)$ với mọi $α$ không nguyên.

Đáp án D

- Hàm số $y=x^α$ có TXĐ $D=R$ với mọi $α$ nguyên dương nên A và B sai.

- Hàm số $y=x^α $ có TXĐ $D=R∖{0}$ với mọi $α$  nguyên âm hoặc $α=0$ nên C sai.

- Hàm số $y=x^α $ có TXĐ $D=(0;+∞)$ với mọi $α$  không nguyên nên D đúng.

Đáp án cần chọn là: D

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toan12daiso #onthitoan12 #ontaptoan12 #luyentaptoan12 #kienthuctoan12 #lythuyettoan 12

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019