Toán 11 - Chương 1 - Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp - HocHay

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng $at+b=0$ trong đó $a,b$ là các hằng số $(a≠0)$ và $t$ là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ: $2sinx−1=0;cos2x+\frac{1}{2}=0;3tanx−1=0;\sqrt{3}cotx+1=0$

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 

a) Dạng phương trình

$asin^2x+bsinx+c=0$

$acos^2x+bcosx+c=0$

$atan^2x+btanx+c=0$

$acot^2x+bcotx+c=0$

b) Cách giải

Đặt:

$t=sinx(−1≤t≤1)$

$t=cosx(−1≤t≤1)$

$t=tanx$

$t=cotx$

c) Chú ý

• Nếu a là một số cho trước mà tanα xác định thì phương trình $tanx = tana$ có nghiệm $x = α+kp$ thoả điều kiện $cosx≠0$
• Phương trình $tanP(x) = tanQ(x)$ thì cần phải chú ý đến điều kiện $cosP(x) ≠ 0$ và $cosQ(x) ≠ 0$.

a) Dạng phương trình

$asinx+bcosx=c(1)$

Điều kiện có nghiệm: $a^2+b^2≥c^2$

b) Cách giải

• Cách 1: Chia hai vế của (1) cho $a^2+b^2$, ta được:

(1)$⇔\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin⁡x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos⁡x=\frac{c}{a^2+b^2}$

Vì $(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})^2+(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})^2=1$ nên ta đặt $\left\{ \begin{array}{} sin⁡φ=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ cos⁡φ=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right.$

Phương trình trở thành:

$sin⁡xsin⁡φ+cos⁡xcos⁡φ=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}⇔cos⁡(x−φ)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Đặt cos⁡α=ca2+b2 ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt $\left\{ \begin{array}{} cos⁡φ=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ sin⁡φ=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{array} \right.$

Khi đó phương trình trở thành: $sinxcosφ+cosxsinφ=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}⇔sin⁡(x+φ)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

• Cách 2:
  • Xét $cos\frac{x}{2}=0⇔x=π+k2π,k∈Z$ có là nghiệm của (1) không
  • Xét $cos\frac{x}{2}≠0⇔x≠π+k2π,k∈Z$

Đặt $t=tan\frac{⁡x}{2}$. Khi đó $sinx=\frac{2t}{1+t^2}$ và $cosx=\frac{1−t^2}{1+t^2}$

Phương trình trở thành:

$a.\frac{2t}{1+t^2}+b.\frac{1−t^2}{1+t^2}=c⇔(b+c)t^2−2at+c−b=0(2)$

Giải (2) theo $t$, tìm được t thay vào $ t=tan\frac{x}{2}$ suy ra x

• Cách 3:

Nếu $a≠0$ chia 2 vế cho a rồi ta đặt $tanα=\frac{b}{a} (−π2<α<π2)$

Phương trình trở thành: $sinx+\frac{sinα}{cosα}cosx=\frac{c}{a}

⇔cosαsinx+sinαcosx=\frac{c}{a}cosα⇔sin(x+α)=\frac{c}{a}cosα$

Đặt $sinφ=\frac{c}{a}cosα$ ta được phương trình lượng giác cơ bản $sin(x+α)=sinφ.$