Toán 11 - Chương 1 - Bài 4: Ôn tập Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - HocHay


Đăng bởi Thanh Huyền | 20/09/2021 | 122
Toán 11 - Chương 1 - Bài 4: Ôn tập Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - HocHay

Hệ thống hóa kiến thức chương

Một số dạng phương trình lượng giác đặc trưng khác và phương pháp giải

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

$asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=d(1)$

(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

  • Cách 1:

Xét $cosx=0⇔x=\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$ có là nghiệm của (1) hay không

Xét $cosx≠0$, chia hai vế của (1) cho $cos^2x$ ta được:

$atan^2x+btanx+c=d(1+tan^2x)⇔(a−d)tan^2x+btanx+c−d=0(1′)$

Đặt $t=tanx$

Phương trình (1′) trở thành: $(a−d)t^2+bt+c−d=0(2)$

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo $t=tanx$

  • Cách 2: Sử dụng các công thức

 $sin^2x=\frac{1−cos2x}{2}; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}; sinxcosx=\frac{sin2x}{2}$

Phương trình (1) trở thành:

$a(\frac{1−cos2x}{2})+b\frac{sin2x}{2}+c(\frac{1+cos2x}{2})=d⇔bsin2x+(c−a)cos2x=2d−a−c$

Đây là phương trình bậc nhất đối với $sin2x$ và $cos2x$.

Phương trình đẳng cấp bậc ba đối với sinx và cosx

Dạng phương trình:

$asin^3x+bsin^2xcosx+csinxcos^2x+dsinx+ecosx+fcos^3x=0(1)$

(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét $cosx=0⇔x=\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$ có là nghiệm của (1) hay không

Xét $cosx≠0$, chia hai vế của (1) cho $cos^3x$  ta được:

$atan^3x+btan^2x+ctanx+dtanx(1+tan^2x)+e(1+tan^2x)+f=0⇔(a+d)tan^3x+(b+e)tan^2x+(c+d)tanx+e+f=0 (1′)$

Đặt $t=tanx$

Phương trình (1′) trở thành:

$(a+d)t^3+(b+e)t^2+(c+d)t+e+f=0$   (2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo $t=tanx$

Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

  • Dạng 1: $a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c=0$

Phương pháp giải

Đặt $t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})$

Điều kiện: $|t|≤\sqrt{2} (*)$

Suy ra  $sinxcosx=\frac{1- t^2}{2}$

Khi đó phương trình trở thành: $bt^2+2at+2c−b=0$

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})=t$, suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt $t=sinx+cosx=\sqrt{2}cos(x−\frac{π}{4})$ và làm tương tự như trên.

  • Dạng 2: $a(sinx−cosx)+bsinxcosx+c=0$

Phương pháp giải

Đặt $t=sinx−cosx=\sqrt{2}sin(x−\frac{π}{4})$

Điều kiện: $|t|≤\sqrt{2}$ (*)

Suy ra $sinxcosx=\frac{1−t^2}{2}$

Khi đó phương trình trở thành: $bt^2−2at−2c−b=0$

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sqrt{2}sin(x−\frac{π}{4})=t$, suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt $t=sinx+cosx=\sqrt{2}cos(x−\frac{π}{4})$ và làm tương tự như trên.

Phương trình đối xứng đối với tanx và cotx

  • Dạng 1: $4a(tan^2x+cot^2x)+b(tanx+cotx)+c=0$

Phương pháp giải

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{} sinx≠0 \\ cosx≠0 \end{array} \right.⇔sin2x≠0⇔x≠\frac{kπ}{2},k∈Z$

Đặt $t=tanx+cotx$, điều kiện $|t|≥2$

Suy ra $tan^2x+cot^2x=t^2−2$

Phương trình trở thành:

$a(t^2−2)+bt+c=0⇔at^2+bt+c−2a=0$

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình $tanx+cotx=t$

Cách 1:

Ta có $tanx+\frac{1}{tanx}=t⇔tan^2x−t.tanx+1=0$

Đây là phương trình bậc hai theo $tanx$

Cách 2:

Ta có: $\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=t⇔\frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=t⇔sin2x=\frac{2}{t}$

Đây là phương trình cơ bản của $sin2x$

  • Dạng 2: $a(tan^2x+cot^2x)+b(tanx−cotx)+c=0$

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{} sinx≠0 \\ cosx≠0 \end{array} \right.⇔sin2x≠0⇔x≠\frac{kπ}{2},k∈Z$

Đặt  $t=tanx−cotx$. Khi đó $tan^2x+cot^2x=t^2+2$

Phương trình trở thành:

$a(t^2+2)+bt+c=0⇔at^2+bt+c+2a=0$

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình $tanx−cotx=t$

Cách 1:

Ta có $tanx−\frac{1}{tanx}=ttan^2x−ttanx−1=0$

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: $\frac{sinx}{cosx}−\frac{cosx}{sinx}=t⇔\frac{sin^2x−cos^2x}{sinxcosx}=t⇔\frac{−2cos2x}{sin2x}=t⇔cot2x=\frac{−t}{2}$

Đây là phương trình cơ bản của $cot2x.$

Toán 11 - Chương 1 -  Bài 4: Ôn tập Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - HocHay


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019