Toán 11 - Chương 1 - Bài 4: Ôn tập Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - HocHay

Dạng phương trình:

$asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x=d(1)$

(a, b, c, d: có ít nhất 2 hệ số khác không)

Phương pháp giải:

• Cách 1:

Xét $cosx=0⇔x=\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$ có là nghiệm của (1) hay không

Xét $cosx≠0$, chia hai vế của (1) cho $cos^2x$ ta được:

$atan^2x+btanx+c=d(1+tan^2x)⇔(a−d)tan^2x+btanx+c−d=0(1′)$

Đặt $t=tanx$

Phương trình (1′) trở thành: $(a−d)t^2+bt+c−d=0(2)$

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x  theo $t=tanx$

• Cách 2: Sử dụng các công thức

 $sin^2x=\frac{1−cos2x}{2}; cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}; sinxcosx=\frac{sin2x}{2}$

Phương trình (1) trở thành:

$a(\frac{1−cos2x}{2})+b\frac{sin2x}{2}+c(\frac{1+cos2x}{2})=d⇔bsin2x+(c−a)cos2x=2d−a−c$

Đây là phương trình bậc nhất đối với $sin2x$ và $cos2x$.

Dạng phương trình:

$asin^3x+bsin^2xcosx+csinxcos^2x+dsinx+ecosx+fcos^3x=0(1)$

(a, b, c, d, e, f: có ít nhất 2 hệ số khác không).

Phương pháp giải:

Xét $cosx=0⇔x=\frac{π}{2}+kπ,k∈Z$ có là nghiệm của (1) hay không

Xét $cosx≠0$, chia hai vế của (1) cho $cos^3x$  ta được:

$atan^3x+btan^2x+ctanx+dtanx(1+tan^2x)+e(1+tan^2x)+f=0⇔(a+d)tan^3x+(b+e)tan^2x+(c+d)tanx+e+f=0 (1′)$

Đặt $t=tanx$

Phương trình (1′) trở thành:

$(a+d)t^3+(b+e)t^2+(c+d)t+e+f=0$   (2)

Giải phương trình (2) theo t từ đó suy ra x theo $t=tanx$

• Dạng 1: $a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c=0$

Phương pháp giải

Đặt $t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})$

Điều kiện: $|t|≤\sqrt{2} (*)$

Suy ra  $sinxcosx=\frac{1- t^2}{2}$

Khi đó phương trình trở thành: $bt^2+2at+2c−b=0$

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiên (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})=t$, suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt $t=sinx+cosx=\sqrt{2}cos(x−\frac{π}{4})$ và làm tương tự như trên.

• Dạng 2: $a(sinx−cosx)+bsinxcosx+c=0$

Phương pháp giải

Đặt $t=sinx−cosx=\sqrt{2}sin(x−\frac{π}{4})$

Điều kiện: $|t|≤\sqrt{2}$ (*)

Suy ra $sinxcosx=\frac{1−t^2}{2}$

Khi đó phương trình trở thành: $bt^2−2at−2c−b=0$

Giải phương trình theo t kết hợp với điều kiện  (*) suy ra t

Giải phương trình lượng giác cơ bản $\sqrt{2}sin(x−\frac{π}{4})=t$, suy ra x

Chú ý: Ta cũng có thể đặt $t=sinx+cosx=\sqrt{2}cos(x−\frac{π}{4})$ và làm tương tự như trên.

• Dạng 1: $4a(tan^2x+cot^2x)+b(tanx+cotx)+c=0$

Phương pháp giải

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{} sinx≠0 \\ cosx≠0 \end{array} \right.⇔sin2x≠0⇔x≠\frac{kπ}{2},k∈Z$

Đặt $t=tanx+cotx$, điều kiện $|t|≥2$

Suy ra $tan^2x+cot^2x=t^2−2$

Phương trình trở thành:

$a(t^2−2)+bt+c=0⇔at^2+bt+c−2a=0$

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (*), suy ra t

Giải phương trình $tanx+cotx=t$

Cách 1:

Ta có $tanx+\frac{1}{tanx}=t⇔tan^2x−t.tanx+1=0$

Đây là phương trình bậc hai theo $tanx$

Cách 2:

Ta có: $\frac{sinx}{cosx}+\frac{cosx}{sinx}=t⇔\frac{sin^2x+cos^2x}{sinxcosx}=t⇔sin2x=\frac{2}{t}$

Đây là phương trình cơ bản của $sin2x$

• Dạng 2: $a(tan^2x+cot^2x)+b(tanx−cotx)+c=0$

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{} sinx≠0 \\ cosx≠0 \end{array} \right.⇔sin2x≠0⇔x≠\frac{kπ}{2},k∈Z$

Đặt  $t=tanx−cotx$. Khi đó $tan^2x+cot^2x=t^2+2$

Phương trình trở thành:

$a(t^2+2)+bt+c=0⇔at^2+bt+c+2a=0$

Giải phương trình theo t và kết hợp với điều kiện (nếu có), suy ra t

Giải phương trình $tanx−cotx=t$

Cách 1:

Ta có $tanx−\frac{1}{tanx}=t⇔tan^2x−ttanx−1=0$

Đây là phương trình bậc hai theo tanx

Cách 2:

Ta có: $\frac{sinx}{cosx}−\frac{cosx}{sinx}=t⇔\frac{sin^2x−cos^2x}{sinxcosx}=t⇔\frac{−2cos2x}{sin2x}=t⇔cot2x=\frac{−t}{2}$

Đây là phương trình cơ bản của $cot2x.$