x

Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 25/03/2021 | 77
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Học hay

Video bài học

Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên  $K$ ($K$ có thể là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến trên $K$ nếu $$∀x_1, x_2∈K:x_1<x_2⇒f(x_1 )<f(x_2 )$$

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là nghịch biến trên K nếu $$∀x_1, x_2∈K:x_1<x_2⇒f(x_1)>f(x_2)$$

Định lý:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $K$

a) Nếu $f′(x)>0,∀x∈K$ thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $K$

b) Nếu $f′(x)<0,∀x∈K$ thì hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $K$

Định lý mở rộng:Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $K$

a) Nếu $f′(x)≥0,∀x∈K$ và $f′(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên $K$

b) Nếu $f′(x)≤0,∀x∈K$ và $f′(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên $K$

Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

- Bước 2: Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm các điểm $x_1,x_2,…,x_n$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

- Bước 3: Xét dấu đạo hàm và nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Các khoảng mà $f′(x)>0$ là các khoảng đồng biến của hàm số.

+ Các khoảng mà $f′(x)<0$ là các khoảng nghịch biến của hàm số.

 

Một số trường hợp đặc biệt:

 

Dạng 2: Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên R.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $f′(x)$

- Bước 2: Nêu điều kiện của bài toán:

+ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $y′=f′(x)⩾0,∀x∈R$$y′=0$ tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $R⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈R$ và $y′=0$ tại hữu hạn điểm.

- Bước 3: Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm $m$.

LƯU Ý:
Cho hàm số $f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$. Khi đó:

$f(x)≥0,∀x∈R ⇔\left\{ \begin{array}{} a>0 \\ Δ⩽0 \end{array} \right.$

$f(x)≤0,∀x∈R⇔ \left\{ \begin{array}{} a<0 \\ Δ⩽0 \end{array} \right.$

 

Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên miền D cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên D:

+ Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $D⇔y′=f′(x)⩾0,∀x∈D$

+ Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $D⇔y′=f′(x)⩽0,∀x∈D$

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm m.

 

LƯU Ý:

Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút m theo x sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m⩾g(x),∀x∈D$ hoặc $m⩽g(x),∀x∈D$.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y=g(x)$ trên $D$

- Kết luận:

$$m⩾g(x),∀x∈D⇒m⩾max_D⁡g(x)$$

$$m⩽g(x),∀x∈D⇒m⩽min_D⁡g(x) $$

 

- Bước 3: Kết luận.

Dạng 4: Tìm m để hàm số $y= \frac{ax+b}{cx+d}$ đồng biến, nghịch biến trên khoảng $(α;β)$

- Bước 1: Tính $y′$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến:

 

+ Hàm số đồng biến trên $(α;β)⇔\left\{ \begin{array}{} y'=f'(x)>0, ∀x∈(α;β) \\ -\frac{d}{c}∉(α;β) \end{array} \right.$

 

+ Hàm số nghịch biến trên $(α;β)⇔\left\{ \begin{array}{} y'=f'(x)<0, ∀x∈(α;β) \\ -\frac{d}{c}∉(α;β) \end{array} \right.$

 

- Bước 3: Kết luận.

Bài tập ứng dụng

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $D$ và $x_1,x_2∈D$ mà $x_1>x_2$, khi đó:

A.$f(x_1)>f(x_2)$

B. $f(x_1)<f(x_2)$

C. $f(x_1)=f(x_2)$

D. $f(x_1)≥f(x_2)$

Đáp án A

Lời giải Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $D$ nên với mọi $x_1,x_2∈D$ mà $x_1>x_2$ thì $f(x1)>f(x2)$

 

Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$. Nếu với mọi $x_1,x_2∈D$ mà $x_1<x_2$ ta đều có $f(x_1)<f(x_2)$ thì:

A. Hàm số đồng biến trên $D$

B. Hàm số nghịch biến trên $D$

C. Hàm số không đổi trên $D$

D. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên $D$

Đáp án A

Lời giải Hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn nếu với mọi $x_1,x_2∈D$ mà $x_1<x_2$  ta đều có $f(x_1)<f(x_2)$ thì hàm số đồng biến trên $D$

 

Câu 3. Cho hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $D$ và $x_1,x_2∈D$ mà $x_1>x_2$, khi đó:

A. $f(x_1)>f(x_2)$

B. $f(x_1)<f(x_2)$

C. $f(x_1)=f(x_2)$

D. $f(x_2)<f(x_1)$

Đáp án B

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $D$ thì với mọi $x_1,x_2∈D$ mà $x_1>x_2$ thì $f(x_1)<f(x_2)$

 

Câu 4. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$. Nếu với mọi $x_1,x_2∈D$ mà $x_1<x_2$ ta đều có $f(x_1)<f(x_2)$ thì:

A. Hàm số đồng biến trên $D$

B. Hàm số nghịch biến trên $D$

C. Hàm số không đổi trên $D$

D. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên $D$

Đáp án B

Lời giải Hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn nếu với mọi $x_1,x_2∈D$ mà $x_1<x_2$  ta đều có $f(x1)>f(x2)$

thì hàm số nghịch biến trên $D$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x) $ xác định và có đạo hàm trên $(a;b) $ Nếu $f′(x)<0,∀x∈(a;b)$ thì:

A. Hàm số đồng biến trên $(a;b)$

B. Hàm số nghịch biến trên $(a;b)$

C. Hàm số không đổi trên $(a;b)$

D. Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên $(a;b)$

Đáp án B

Lời giải Sử dụng định lý về xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng đã nêu ở phần phương pháp, ở đây khoảng $K=(a;b)$ ta được:

Hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm $f′(x)<0,∀x∈(a;b)$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $(a;b)$

 

Câu 6. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm trên $R$Chọn kết luận đúng:

A. Nếu $f′(x)>0,∀x∈R$ thì hàm số đồng biến trên $R$.

B. Nếu $f′(x)<0,∀x∈R$ thì hàm số đồng biến trên $R$.

C. Nếu $f′(x)=0,∀x∈R$ thì hàm số nghịch biến trên $R$.

D. Nếu $f′(x)=0,∀x∈R$ thì hàm số đồng biến trên $R$.

Đáp án A

Lời giải Đáp án A: Nếu $f′(x)>0,∀x∈R$  thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $R$nên A đúng.

Đáp án B: Nếu $f′(x)<0,∀x∈R$ thì hàm số nghịch biến trên $R$ nên B sai.

Đáp án C, D: Nếu $f′(x)=0,∀x∈R$ thì hàm số không đổi trên $R$ nên C, D sai.

 

Câu 7. Cho hàm số $f(x)$  có đạo hàm trên $R$. Nếu hàm số $f(x)$  đồng biến trên $R$ thì:

A. $f′(x)≥0,∀x∈R$ 

B. $f′(x)=0,∀x∈R$

C. $f′(x)<0,∀x∈R$      

D. $f′(x)≤0,∀x∈R$     

Đáp án A

Lời giải Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $R$ thì $f′(x)≥0,∀x∈R$ 

 

Câu 8. Cho hàm số $f(x)$  có đạo hàm trên $R$. Nếu hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $R$ thì:

A. $f′(x)≥0,∀x∈R$

B. $f′(x)=0,∀x∈R$

C. $f′(x)<0,∀x∈R$ 

D. $f′(x)≤0,∀x∈R$

Đáp án D

Lời giải Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên $R$ thì $f′(x)≤0,∀x∈R$

 

Câu 9. Cho hàm số $y=f(x)$ nghịch biến và có đạo hàm trên (−5;5). Khi đó:

A.$f(3)>0$

B. $f′(0)≤0$

C. $f′(0)>0$

D. $f(0)=0 $

Đáp án B

Lời giải Vì $y=f(x)$ nghịch biến trên (−5;5) nên $f′(x)≤0,∀x∈(−5;5)$. Vậy $f′(0)≤0$

 

Câu 10. Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm $f′(x)=−x^2−1$ trên $R$, chọn kết luận đúng:

A. Hàm số không đổi trên $R$.

B. Hàm số đồng biến trên $R$.

C. Hàm số nghịch biến trên $R$.           

D. Hàm số vừa đồng biến vừa nghịch biến trên $R$.

Đáp án C

Lời giải Ta có:$f′(x)=−x^2−1<0,∀x∈R$ nên hàm số nghịch biến trên $R$.

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toanlop12daiso #toan12bai1 #hamso #daoham #giaitoan12 #toan12sudongbiennghichbiencuahamso
 

Toán lớp 12 chương 1 bài 1


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019