x

Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 25/03/2021 | 70
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 2: Cực trị của hàm số - Học hay

Video bài học

Các kiến thức cần nhớ

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ và điểm $x_0∈(a;b)$.

a) Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0⇔∃h>0,f(x)<f(x_0),∀x∈(x_0−h;x_0+h)∖{x_0}$

Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực đại của hàm số.

b) Hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0⇔∃h>0,f(x)>f(x_0),∀x∈(x_0−h;x_0+h)∖{x_0}$ Khi đó $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.

LƯU Ý:

a) Cần phân biệt các các khái niệm:

- Điểm cực trị $x_0$ của hàm số.

- Giá trị cực trị của hàm số.

- Điểm cực trị $(x_0;y_0)$ của đồ thị hàm số.

b) Nếu $y=f(x)$ có đạo hàm trên $(a;b)$ và đạt cực trị tại $x_0∈(a;b)$ thì $f′(x_0)=0$.

Định lý 1:

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $K=(x_0−h;x_0+h) $và có đạo hàm trên $K $ hoặc $K∖{x_0}(h>0)$

a) Nếu $\left\{ \begin{array}{} f′(x)>0,∀x∈(x_0−h) \\ f′(x)<0,∀x∈(x_0+h) \end{array} \right.$

 thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số.

b) Nếu $\left\{ \begin{array}{} f′(x)<0,∀x∈(x_0−h) \\ f′(x)>0,∀x∈(x_0+h) \end{array} \right.$  thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

LƯU Ý:

Hàm số có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm không xác định.

Định lý 2:

Giả sử $y=f(x)$ có đạo hàm cấp 2 trong $(x_0−h;x_0+h)(h>0)$.

a) Nếu $\left\{ \begin{array}{} f′(x_0)=0 \\ f″(x_0)>0 \end{array} \right.$ thì $x_0$  là một điểm cực tiểu của hàm số.

 

b) Nếu $\left\{ \begin{array}{} f′(x_0)=0 \\ f″(x_0)<0 \end{array} \right.$  thì $x_0$  là một điểm cực đại của hàm số.

Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Có thể tìm cực trị của hàm số bởi một trong hai quy tắc sau:

Quy tắc 1: (suy ra từ định lý 1)

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f′(x)$ , tìm các điểm tại đó $f′(x)=0$  hoặc không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại của hàm số.

Quy tắc 2: (suy ra từ định lý 2)

- Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

- Bước 2: Tính $f′(x)$ , giải phương trình $f′(x)=0$ và kí hiệu $x_1,...,x_n$ là các nghiệm của nó.

- Bước 3: Tính $f″(x) $$f″(x_i)$.

- Bước 4: Dựa và dấu của $f″(x_i)$ suy ra điểm cực đại, cực tiểu:

+ Tại các điểm $x_i$$f″(x_i)>0$ thì đó là điểm cực tiểu của hàm số.

+ Tại các điểm $x_i$$f″(x_i)<0$ thì đó là điểm cực đại của hàm số.

LƯU Ý:

Đối với các bài toán tìm cực trị của hàm số lượng giác thì dùng quy tắc 2 sẽ thuận tiện hơn, tránh được việc xét dấu đạo hàm.

Bài tập ứng dụng

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $(a;b)$ Nếu $f′(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_0$ thuộc $(a;b)$  thì

A. $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

B. $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số

C. $x_0$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

D. $x_0$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đáp án B

Lời giải

Nếu $f′(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

 

Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $(a;b)$. Nếu $f′(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x_0$ thì:

A. $x_0$ là điểm cực đại của hàm số

B. $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

C. $x_0$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số

D. $x_0$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đáp án A

Lời giải Nếu $f′(x)$ đổi dấu từ dương sang âm qua điểm $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số.

 

Câu 3. Cho hàm số  $y=f(x)$ xác định và có đạo hàm cấp một và cấp hai trên khoảng  $(a;b)$ và  $x_0∈(a,b)$ Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $y′(x_0)=0$ và $y′′(x_0)≠0$ thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.

B. $y′(x_0)=0$ và $y′′(x_0)≠0$ thì  $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số.

C. Hàm số đạt cực đại tại  $x_0$ thì $y′(x_0)=0$

D. $y′(x_0)=0$ và $y′′(x_0)≠0$ thì $x_0$ là điểm cực trị của hàm số.

Đáp án D

Lời giải

Câu C đúng theo điều kiện cần của cực trị.

Câu A, B đúng theo điều kiện đủ của cực trị.

Câu D sai theo điều kiện đủ cho cực trị tồn tại.

 

Câu 4. Nếu $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f(x_0)$ là:

A. Giá trị cực tiểu của hàm số.

B. Giá trị cực đại của hàm số.

C. Điểm cực tiểu của hàm số.      

D. Điểm cực đại của hàm số.

Đáp án A

Nếu $x_0$ là điểm cực tiểu của hàm số thì $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu của hàm số.

 

Câu 5. Nếu $x_0$ là điểm cực đại của hàm số thì $f(x_0)$ là:

A. Giá trị cực tiểu của hàm số

B. Giá trị cực đại của hàm số

C. Điểm cực tiểu của hàm số.     

D. Điểm cực đại của hàm số.

Đáp án B

Lời giải Nếu $x_0$ là điểm cực đại của hàm số thì $f(x_0)$ là giá trị cực đại của hàm số.

 

Câu 6. Nếu $x_0$ là điểm cực đại của hàm số thì $(x_0;f(x_0))$ là:

A. Giá trị cực đại của hàm số.      

B. Giá trị cực đại của đồ thị hàm số.

C. Điểm cực đại của hàm số.       

D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Đáp án D

Lời giải Nếu $x_0$ là điểm cực đại của hàm số thì $(x_0;f(x_0))$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

 

Câu 7. Nếu $(x_0;f(x_0))$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số thì $x_0$ là:

A. Giá trị cực đại của hàm số.     

B. Giá trị cực đại của đồ thị hàm số

C. Điểm cực đại của hàm số.      

D. Điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Đáp án C

Nếu $(x_0;f(x_0))$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số thì $x_0$ là điểm cực đại của hàm số

 

Câu 8. Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x_0$.

2. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại $x_0$ khi và chỉ khi x0 là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f′(x_0)=0$và $f′′(x_0)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f(x)$ đã cho.

4. Nếu $f′(x_0)=0$ và $f′′(x_0)=0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.

Các phát biểu đúng là:

A. 1; 3; 4  

B. 1

C. 1; 2; 4  

D. Tất cả đều đúng

Đáp án B

+) Ta có định lí: Nếu f′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_0$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm xo ⇒ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để $x_0$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x) $=0⇒ 2 sai.

+) Nếu $f′(x_0)=0$ và $f(x) $có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_0$ thì:

-) Nếu f′′(xo)<0 thì hàm số $f(x) $ đạt cực đại tại điểm $x_0$.

-) Nếu f′′(xo)>0 thì hàm số $f(x) $ đạt cực tiểu tại điểm $x_0$.

+) Nếu $f′(x_0)=0$ và $f′'(x_0)=0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại $x_0$.

Khi thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại $x_0$.

Ví dụ:

+) TH1: Xét hàm $f(x)= x$ có $f′(x)=4x^3=0$⇔$x=0$

$f′′(x)=12x^2$ và $f′′(0)=0$.

Trong TH này hàm số có $f′′(0)=0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại $x=0$ vì đạo hàm $f′(x)$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$.

+) TH2: Xét hàm $g(x)=x^3$ có $f′(x)=3x^2=0⇔x=0$

$f′′(x)=6x⇒f′′(0)=0$

Trong TH này hàm số có $f′′(0)=0$ nhưng không đạt cực trị tại $x=0$ vì đạo hàm $f′(x)=3x^2$ không đổi dấu của $x=0$ ⇒ 3 và 4 sai.

 

Câu 9. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm.

B. Nếu $f′(x0)=0$ và $f′′(x_0)>0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0$.

C. Nếu $f′(x_0)=0$ và $f′′(x_0)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f(x)$ đã cho.

D. Nếu f′(x) đổi dấu khi x qua điểm $x_0$ và f(x) liên tục tại $x_0$ thì hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$.

Đáp án D

Phát biểu “Hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại x0 khi và chỉ khi $x_0$ là nghiệm của đạo hàm” là sai vì tồn tại hàm số có cực trị tại điểm $x_0$ không phải là nghiệm của đạo hàm (chẳng hạn hàm $y=|x|$ đạt cực trị tại $x=0$ mà không có đạo hàm tại điểm đó)

Phát biểu “Nếu $f′(x0)=0$ và $f′′(x0)>0$ thì hàm số đạt cực đại tại $x_0”$ là sai vì nếu $f′(x0)=0$và $f′′(x0)>0, f″(x0)>0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_0$

Phát biểu “Nếu $f′(x0)=0$ và $f′′(x0)=0$ thì $x_0$ không phải là cực trị của hàm số $y=f(x)$ đã cho” là sai vì tồn tại hàm số, chẳng hạn $y=x^4$ có $f′(0)=0$ và$ f′′(0)=0$ và $x=0$ là cực trị của hàm số đó.

Phát biểu “Nếu $f′(x)$ đổi dấu khi $x$ qua điểm $x_0$ và $f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$.” là đúng.

 

Câu 10. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3 − 3x^2 + 1$ là:

A. $y=−2x+1$

B. $y=2x−1$

C. $y=−2x−1$

D. $y=2x+1$

Đáp án A

$y′=3x^2−6x$;
$y′=0⇔3x(x−2)=0$

⇔ $\left\{ \begin{array}{} x=0⇒y=1 \\ x=2⇒y=-3 \end{array} \right.$

Từ đây suy ra hai điểm cực trị có tọa độ $A(0,1)$ và $B(2,−3)$

Phương trình  đường thẳng qua hai điểm A,B là :

 $\frac{x-2}{2-0} = \frac{y-1}{- 3-1}$

$⇔−4x=2(y−1) ⇔y=−2x+1$

Đáp án cần chọn là: A

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toanlop12daiso #toan12bai2 #hamso #daoham #giaitoan12 #toan12cuctrihamso

 

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019