x

Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm cơ bản - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 25/03/2021 | 143
Toán lớp 12 - Chương 1 - Bài 3: Phương pháp giải một số bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm cơ bản - Học hay

Video bài học

Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc ba có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số bậc ba có điểm cực trị:

+ Hàm số có điểm cực trị ⇔$y′=0$ có hai nghiệm phân biệt $⇔Δ>0$.

+ Hàm số không có điểm cực trị $⇔y′=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $⇔Δ≤0$

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc ba chỉ có thể có hai cực trị hoặc không có cực trị nào.

Tìm điều kiện của tham số để hàm số bậc bốn trùng phương có điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để hàm số có điểm cực trị:

+ Hàm số có 1 điểm cực trị nếu phương trình $y′=0$ có nghiệm duy nhất.

+ Hàm số có  điểm cực trị nếu phương trình $y′=0$ có ba nghiệm phân biệt.

- Bước 3: Kết luận.

Hàm số bậc bốn trùng phương chỉ có thể có 1 điểm cực trị hoặc có 3 điểm cực trị.

+ Trường hợp có 1 điểm cực trị thì đó là $x=0$.

+ Trường hợp có 3 điểm cực trị thì đó là $x=0$$x=\sqrt{-\dfrac{b}{2a}}$

Tìm điều kiện của tham số để hàm số nhận điểm cho trước làm điểm cực trị

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′,y″$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để $x=x_0$ là điểm cực trị của hàm số:

$x=x_0$ là điểm cực đại nếu $\left\{ \begin{array}{} f′(x_0)=0 \\f″(x_0)<0  \end{array} \right.$

$x=x_0$ là điểm cực tiểu nếu $\left\{ \begin{array}{} f′(x_0)=0 \\f″(x_0)>0  \end{array} \right.$

- Bước 3: Kết luận.

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′$

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

$y′=0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu$⇔ac<0$ 

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung

$y′=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dấu ⇔ $\left\{ \begin{array}{} Δ>0 \\P>0  \end{array} \right.$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên phải trục tung

$y′=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương ⇔{$\left\{ \begin{array}{} Δ>0\\S>0 \\P>0  \end{array} \right.$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về bên trái trục tung

$y′=0$ có hai nghiệm phân biệt cùng âm ⇔{$\left\{ \begin{array}{} Δ>0\\S<0 \\P>0  \end{array} \right.$

+ Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ thỏa mãn đẳng thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ thì ta biến đổi đẳng thức đã cho làm xuất hiện $x_1+x_2,x_1.x_2$ rồi sử dụng hệ thức Vi-et để thay $\left\{ \begin{array}{} x_1+x_2=S\\x_1x_2=P  \end{array} \right.$ và tìm $m$.

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y'$.

- Bước 2: Nêu điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thỏa mãn điều kiện:

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A(0;c)$ lập thành một tam giác vuông (vuông cân)

⇔$ΔABC$ vuông tại $A⇔OA⇔\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

Khi đó:

$y′=4ax^3+2bx=0⇔ \left[ \begin{array}{} x=0 \\ x=±\sqrt{-\dfrac{b}{2a}} \end{array} \right.$

$⇒A(0;c),B(-\sqrt{-\frac{b}{2a}},c-\frac{b^2}{4a}),C(\sqrt{-\frac{b}{2a}},c-\frac{b^2}{4a})$

$⇒\overrightarrow{AB}=(-\sqrt{-\frac{b}{2a}},-\frac{b^2}{4a}),\overrightarrow{AC}=(\sqrt{-\frac{b}{2a}},-\frac{b^2}{4a}) $

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$⇔\frac{b}{2a}+\frac{b^2}{16a^2}$

$⇔8ab+b^2=0$

$⇔8a+b=0$

$⇔b=-8a$

Đây là công thức tính nhanh trong bài toán trắc nghiệm.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A(0;c)$ tạo thành tam giác đều $⇔AB=BC=CA$

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A(0;c)$ tạo thành tam giác có diện tích $S_0$ cho trước

$⇔S_0=\frac{1}{2}AH.BC$ với $H$ là trung điểm của $BC$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A(0;c)$ tạo thành tam giác có diện tích $S_0$ lớn nhất

Tìm $maxS_0$ với $S_0=\frac{1}{2}AH.BC$,$H$ là trung điểm của $BC$.

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A(0;c)$ tạo thành tam giác cân có góc ở đỉnh bằng $α$ cho trước

$\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}=cos⁡α$

+ Ba điểm cực trị $A,B,C$ trong đó $A(0;c)$ tạo thành tam giác có ba góc nhọn

$⇔cos⁡α =\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{AC}|}>0$

⇔cos⁡α=AB→.AC→|AB→|.|AC→|>

Viết phương trinh đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y′$.

- Bước 2: Lấy y chia $y′$ ta được đa thức dư $g(x)=mx+n$.

- Bước 3: Kết luận: $y=mx+n$ là đường thẳng cần tìm.

Bài tập vận dụng

Câu 1.Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y =  − mx^2 + x – 1$ có cực đại và cực tiểu.

A. $0 < m ⩽1$

B. $\left[ \begin{array}{} m < 0 \\ m > 1 \end{array} \right.$

C. $0 < m <1$

D. $m < 0$

Đáp án B

TXĐ:$D=R$

TH1: $m=0→y=x−1.$

Hàm số không có cực trị.

TH2: $m≠0$

Ta có: $y=  − mx^2 + x−1$

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình $y′=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

$⇒Δ′ = m^2$

 

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=x3−3x2+(m+1)x+2có hai điểm cực trị.

A. $m ≤ 2$

B. $m>2$

C. $m<2$

D. $m<−4$

Đáp án C

$y=x^3 − 3x^2 + (m+1)x + 2 ⇒ y′=3x^2 − 6x + m + 1$

Hàm số $y = x^3 − 3x^2 + (m+1)x + 2 $ có hai điểm cực trị $⇔ y′=0$  có 2 nghiệm phân biệt

$⇔Δ′ > 0 ⇔ 32 −3.(m+1) > 0 ⇔ m < 2$

 

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y =−x^4+2mx^2$ có 3 điểm cực trị ?

A. $m < 0$

B. $m = 0$

C. $m > 0$

D. $m ⩾ 0$

Đáp án C

$y=−x^4+2mx^2 ⇒y′=−4x^3+4mx=−4x(x^2−m) ⇒y′=0 ⇔\left[ \begin{array}{} x = 0 \\ x^2= m \end{array} \right. $ [

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $y′=0$ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^2 = m$ có hai nghiệm phân biệt $≠0$ hay $m>0$

 

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của mm để hàm số  $y = x^4+2(m^2−9)x^2+5m+2 $ có cực đại, cực tiểu

A. $m∈(−3;3)$

B. $m∈[−3;3]$

C. $m∈(−∞;−3)∪(3;+∞)$

D. $m∈(−9;9)$

 

Đáp án A

 

 

Câu 5. Cho hàm số  $y=2x^4−(m+1)x^2−2$. Tất cả các giá trị của mm để hàm số có 1 điểm cực trị là:

A. $m > −1$ 

B. $m < −1$

C. $m = − 1$

D. $m ⩽ − 1$

Đáp án D

$y′=8x^3−2(m+1)x=2x[4x^2−(m+1)]  ⇒y′=0⇔ \left[ \begin{array}{} x=0 \\ 4x^2=m+1 (1)\end{array} \right. $

Ta có yêu cầu bài toán để hàm số có một điểm cực trị $⇔y′ = 0$ có 1 nghiệm duy nhất ⇔(1) có 1 nghiệm $x = 0$ hoặc (1) vô nghiệm $⇔ m + 1⩽ 0 ⇔ m ⩽ −1 $

 

Câu 6. Hàm số   $y=x^3+2ax^2+4bx−2018, (a,b∈R) $ đạt cực trị tại  $x=−1$ . Khi đó hiệu  $a−b $ là:

A. $\frac{4}{3}$

B. −1

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{-3}{4}$

Đáp án C

$y=x^3+2ax^2+4bx−2018, (a,b∈R) ⇒y′=3x^2+4ax+4b$

Hàm số trên đạt cực trị tại  $x=−1$

$⇒3(−1)2+4a.(−1)+4b=0⇔ 3−4a+4b=0$

$⇔3 − 4(a−b) = 0 ⇔ a−b = \frac{3}{4}$

Đáp án cần chọn là: C

 

Câu 7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = x^3 − 2mx^2 + m2x + 2$ đạt cực tiểu tại $x=1$.

A. $ m=3$                

B. $m=1 ∨ m=3$

C. $m=−1$

D. $m=1$

Đáp án D

TXĐ: $D=R$

Ta có:  $y′ = 3x^2 − 4mx + m^2 ⇒ y″ = 6x − 4m$

Để $x=1$ là điểm cực tiểu của hàm số  thì:

$\left\{ \begin{array}{} y'(1)=0 \\ y''(1)>0 \end{array} \right. ⇔\left\{ \begin{array}{} m^2-4m+3=0 \\ 6-4m>0 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{} m=1;m=3 \\ m<\frac{3}{2} \end{array} \right.⇔ m=1$

 

Đáp án cần chọn là D


Câu 8  Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số $y = 4x^3 + mx^2 − 12x$ đạt cực tiểu tại điểm $x=−2.$

A. $m=−9$.

B. $m=2$

C. Không tồn tại $m$.

D. $m=9$.

Đáp án C

Ta có $\left\{ \begin{array}{} 12x^2+ 2mx -12 \\ y''=24x+2m \end{array} \right.$

Từ giả thiết bài toán ta phải có

$y′ (−2) = 48 − 4m – 12 = 0 ⇔ m = 9$

Thay vào $y″ (−2) = − 48 + 2m = − 48 + 18 = −30 < 0.$

Khi đó, hàm số đạt cực đại tại $x=−2$.

Vậy không có giá trị $m$ thỏa mãn 

 

Câu 9. Đồ thị hàm số $y = x^3− (3m+1)x^2 + (m2+3m+2)x + 3 $ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:

A. $1 < m < 2$

B. $−2 < m < −1$

C. $2 < m < 3$

D.$ −3 < m < −2$

Đáp án B

$ y = x^3− (3m+1)x^2 + (m2+3m+2)x + 3$

$y′= 3x^2 − (6m+2)x + m^2 + 3m + 2$

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_1, x_2 < 0$ với $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y′ = 0$.

 

Câu 10. Cho hàm số $y = x^3 − 3x^2 + 3mx + 1$. Tìm $m$ để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2

A. $m < − 2 $

B. $m > 4$ 

C. $0 < m < 1$

D. $−1 < m < 2$

Đáp án C

Ta có: $y′ = 3x^2 − 6x + 3m $

Hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2 ⇔ y′có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thoả mãn

$x_1 < x_2 < 2$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{} Δ'>0 \\ a.f(2)>0 \\\frac{S}{2}<2 \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{} 9−9m>0  \\ 3.(3.2^2−6.2+3m)>0 \\1<2(∀m) \end{array} \right.⇔\left\{ \begin{array}{} m<1 \\ m>0 \\\end{array} \right.$

$⇔ 0<m<1$

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toanlop12daiso #toan12bai3 #hamso #daoham #giaitoan12 #toan12cuctrihamso

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019