Toán lớp 12 - Chương 3 - Bài 1: Nguyên hàm - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 01/03/2021 | 120
Toán lớp 12 - Chương 3 - Bài 1: Nguyên hàm - Học hay

Video bài học

Các kiến thức cần nhớ

Khái niệm nguyên hàm

Kí hiệu $K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của $R$.

Định nghĩa:

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $K$.

Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu $F′(x)=f(x)$ với mọi $x∈K$.

Định lý 1:

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$.

Định lý 2:

Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ đều có dạng $F(x)+C$ với $C$ là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $∫f(x)dx.$

Khi đó : $∫f(x)dx=F(x)+C,C∈R$.

Tính chất

Tính chất 1: $∫f′(x)dx=f(x)+C,C∈R.$

Tính chất 2: $∫fk(x)dx=k∫f(x)dx$ (với k là hằng số khác 0).

 

Tính chất 3: $∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.$

Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí 3:

Mọi hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$.

Nguyên hàm của một một số hàm số thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thương gặp:

  • $∫kdx=kx+C,k∈R$
  • $∫x^αdx=\frac{1}{1+α}.x^{α+1}+C(α≠−1)$
  • $∫\frac{dx}{x}=ln|x|+C$
  • $∫\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$
  • $∫exdx=ex+C$
  • $∫a^xdx=\frac{a^x}{lna}+C(0<a≠1)$
  • $∫cosxdx=sinx+C$
  • $∫sinxdx=−cosx+C$
  • $∫\frac{dx}{cos^2x}=tanx+C$
  • $∫\frac{dx}{sin^2x}=−cotx+C$

Ngoài ra còn có một số công thức thường gặp khác:

  • $∫(ax+b)^kdx=\frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{k+1}}{k+1}+C,(a≠0,k≠−1)$
  • $∫\frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}ln|ax+b|+C,a≠0$
  • $∫e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}e^{ax+b}+C$
  • $∫cos(ax+b)dx=\frac{1}{a}sin(ax+b)+C$
  • $∫sin(ax+b)dx=−\frac{1}{a}cos(ax+b)+C$

Các phương pháp tính nguyên hàm

Phương pháp đổi biến số

Định lí 1:

Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số $u=u(x)$ có đạo hàm và liên tục trên K và hàm số $y=f(u)$ liên tục sao cho $f[u(x)]$ xác định trên $K$. Khi đó nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$, tức là $∫f(u)du=F(u)+C$ thì $∫f[u(x)]dx=F[u(x)]+C$.

Hệ quả:

Với $u=ax+b(a≠0)$, ta có: $∫f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Định lí 2:

Nếu hai hàm số $u=u(x)$ và $v=v(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $K$ thì:

$∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx$

Một số dạng thường gặp:

Dạng 1: $∫P(x).e^{ax+b}dx, ∫P(x)sin(ax+b)dx, ∫P(x)cos(ax+b)dx$

Cách giải: Đặt $u=P(x),dv=e^{ax+b}dx$ hoặc $dv=sin(ax+b)dx,dv=cos(ax+b)dx.$

Dạng 2: $∫P(x)ln(ax+b)dx$

Cách giải: Đặt $u=ln(ax+b),dv=P(x)dx.$

Bài tập vận dụng

Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3+2x$ là:

A. $\frac{x^4}{4}−x^2+C$                  

B. $\frac{x^4}{4}+x^2+C$                   

C. $\frac{x^4}{4}+C $                      

D. $x^2+C$

Đáp án B

$∫f(x)dx=∫(x^3+2x)dx=\frac{x^4}{4}+x^2+C$

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 2: Cho $f(x)$ là đạo hàm của hàm số $F(x)$. Chọn mệnh đề đúng:

A. $f′(x)=F(x)$

B. $∫f(x)dx=F(x)+C$

C. $∫F(x)dx=f(x)+C$

D. $f′(x)=F′(x)$

Hàm số $f(x)$ là đạo hàm của $F(x)$ nên $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ hay $∫f(x)dx=F(x)+C.$

Đáp án cần chọn là: B

 

Câu 3: Chọn mệnh đề đúng:

$A. ∫f′(x)dx=f(x)+C$ 

$B. ∫f(x)dx=f′(x)+C$

$C. ∫f′(x)dx=f″(x)+C$

$D. ∫f(x)dx=f″(x)+C$

Đáp án A

Ta có: $∫f′(x)dx=f(x)+C.$

Đáp án cần chọn là: A

 

Câu 4: Chọn mệnh đề sai:

A. ∫f′(x)dx=f(x)+C

B. ∫f″(x)dx=f′(x)+C

C. ∫f‴(x)dx=f″(x)+C

D. ∫f(x)dx=f′(x)+C

Đáp án D

Ta có: ∫f′(x)dx=f(x)+C nên A đúng.

∫f′′(x)dx=∫[f′(x)]′dx=f′(x)+C nên B đúng.

∫f′′′(x)dx=∫[f′′(x)]′dx=f′′(x)+C nên C đúng.

∫f(x)dx=F(x)+C với F′(x)=f(x)  chứ không phải ∫f(x)dx=f′(x)+C nên D sai.

Đáp án cần chọn là: D

 

Câu 4: Chọn mệnh đề sai:

A. $∫f′(x)dx=f(x)+C$

B. $∫f″(x)dx=f′(x)+C$

C. $∫f‴(x)dx=f″(x)+C$

D. $∫f(x)dx=f′(x)+C$

Đáp án D

Ta có: $∫f′(x)dx=f(x)+C$ nên A đúng.

$∫f′′(x)dx=∫[f′(x)]′dx=f′(x)+C$ nên B đúng.

$∫f′′′(x)dx=∫[f′′(x)]′dx=f′′(x)+C$ nên C đúng.

$∫f(x)dx=F(x)+C với F′(x)=f(x)$  chứ không phải $∫f(x)dx=f′(x)+C$ nên D sai.

Đáp án cần chọn là: D

 

 

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=cos2x$.

A. $∫cos2xdx=2sin2x+C$.                        

B. $∫cos2xdx=−\frac{1}{2}sin2x+C$.

C. $∫cos2xdx=sin2x+C$.                           

D. $∫cos2xdx=\frac{1}{2}sin2x+C$.

Đáp án D

$∫cos2xdx=\frac{sin2x}{2}+C$

Đáp án cần chọn là: D

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toan12daiso #onthitoan12 #ontaptoan12 #luyentaptoan12 #kienthuctoan12 #lythuyettoan 12

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019