Toán lớp 12 - Chương 3 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học - Học hay


Đăng bởi Khánh Ly | 04/03/2021 | 222
Toán lớp 12 - Chương 3 - Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học - Học hay

Video bài học

Ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

  • Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên [a;b] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_a^b|f(x)|dx$.

 

  • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f(x), y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là: $S=\int\limits_a^b|f(x)−g(x)|dx$

 

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

  • Thể tích vật thể B giới hạn bởi  hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $a,b$ là $V= \int\limits_a^bS(x)dx$. Trong đó $S(x)$ là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x∈[a;b]$ và $S(x)$ là một hàm liên tục.

Ứng dụng tích phân tín thể tích khối tròn xoay

  • Hàm số  $y=f(x)$ liên tục và không âm trên $[a,b]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích $V$ được tính bởi công thức $V=π\int\limits_a^bf^2(x)dx.$

  • Cho hai hàm số  $y=f(x), y=g(x)$ thỏa $0≤g(x)≤f(x)$, liên tục và không âm trên $[a,b]$. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x), y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích $V$ được tính bởi công thức $V=π\int\limits_a^b[f^2(x)−g^2(x)]dx.$.
  • Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  $y=f(x)$ và $y=g(x)$ quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:
    • Giải phương trình $f(x)=g(x)⇔f(x)≥0,∀x∈R ⇔\left[ \begin{array}{} x=a \\ x=b \end{array} \right.$ (Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).
    • Giải sử $0≤g(x)≤f(x)$ với mọi x thuộc $[a,b]$. Khi đó: $V=π\int\limits_a^b[f^2(x)−g^2(x)]dx.$
  • Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $x=g(y)$, trục tung và hai đường thẳng $y=c,y=d$ quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích $V$ được tính bởi công thức $V=π\int\limits_c^dg^2(y)dy.$

Bài tập vận dụng

Câu 1: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, đường thẳng $y=0$ và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$ là:

 A. $S=\int\limits_a^bf(x)dx$  

B. $S=\int\limits_0^bf(x)dx$  

C. $S=\int\limits_b^a|f(x)|dx$

D. $S=\int\limits_a^b|f(x)|dx$

Đáp án D

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, đường thẳng $y=0$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_a^b|f(x)|dx$

Đáp án cần chọn là: D

 

Câu 2: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2−1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=−1;x=−3$ là:

A. $S= \int\limits_{−3}^{−1}|x^2−1|dx$

B. $S= \int\limits_{−1}^{−3}|x2−1|dx$

C. $S= \int\limits_{−3}^0|x2−1|dx$

D. $S=\int\limits_{−3}^{−1}(1−x2)dx$

Đáp án A

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2−1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=−1;x=−3$ là: $S=\int\limits_{−3}^{−1}|x^2−1|dx$

Đáp án cần chọn là: A

 

Câu 3: Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục $Ox$ là:

A. $V=π\int\limits_a^b|f(x)|dx$

B. $V=\int\limits_a^b|f(x)|dx$

C. $V=π\int\limits_a^bf^2(x)dx$

D. $V=π^2\int\limits_a^bf^2(x)dx$

Đáp án C

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x=a,x=b(a<b)$ quanh trục $Ox$ là:  $V=π\int\limits_a^bf2(x)dx$

Đáp án cần chọn là: C

 

Câu 4: Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2^x,y=0,x=0$ và $x=2$. Thể tích $V$ của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục $Ox$ được xác định bởi công thức:

A. $V=π\int\limits_0^22^{x+1}dx$

B. $V=\int\limits_0^22^{x+1}dx$

C. $V=\int\limits_0^24^xdx$

D. $V=π\int\limits_0^24^xdx$

Đáp án D

Ta có công thức tính thể tích hình phẳng đã cho là: $V=π\int\limits_0^2(2^x)^2dx=π\int\limits_0^24^xdx$

Đáp án cần chọn là: D

 

Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $x=0,x=π$, đồ thị hàm số $y=cosx$  và trục $Ox$ là

A. $S=\int\limits_0^πcosxdx.$               

B. $S=\int\limits_0^πcos^2xdx.$    

C. $S=\int\limits_0^π|cosx|dx.$  

D. $S=π\int\limits_0^π|cosx|dx$

Đáp án C

Diện tích hình phẳng cần tính là S=\int\limits_0^π|cosx|dx.

Đáp án cần chọn là: C

 

#toanlop12 #toan12 #hoctoan12 #onthilop12 #luyenthitoan12 #lop12chuong1 #toan12daiso #onthitoan12 #ontaptoan12 #luyentaptoan12 #kienthuctoan12 #lythuyettoan 12

đang cập nhật


Công ty CP Giáo Dục Học Hay

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428

Trụ sở: 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028 3510 7799

TRUNG TÂM HỌC TIẾNG ANH ONLINE, TIẾNG ANH GIAO TIẾP, LUYỆN THI TOEIC, IELTS - CHI NHÁNH CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC HỌC HAY

Giấy phép kinh doanh số: 0315260428-001

Văn phòng: Lầu 3, 145 Lê Quang Định, phường 14, quận Bình Thạnh, thành phố Hồ Chí Minh.

Điện thoại: 0896 363 636

Email: lienhe@hochay.com - hochayco@gmail.com

Mạng xã hội HocHay - Giấy phép MXH số 61/GP-BTTTT ngày 19/02/2019